Навігація
Зараз на сайті
Гостей: 2

Користувачів: 0

Всього користувачів: 30
Новий користувач: sanchopex
Останні статті
Высадка рассады томатов в открытый грунт
Оцінювання тісноти кореляційної залежності між ...
Процедура обчислень при перевірці статестичних ...
Вредители и болезни кукурузы.
Вредители и болезни ячменя и других колосовых з...
Останні завантаження
Приклад розрахунку т...
Куртенер Д. А. Усков...
Підказки на деякі за...
Презентация на тему ...
Підручник "Мікроклім...
Останнi огляди:
Очистка зерна
Высококачественная г...
Уголок от "Металлург...
Компания TPG - отдых...
Как выбрать одежду д...
Выращивание арбузов ...
Ленточная пила по де...
Наш сад
Структура статей
Усі статті » 8) Конспект лекцій з астрономії. » 2) Основні відомості із сферичної тригонометрії.
2) Основні відомості із сферичної тригонометрії.

 Деякі теоретичні положення

Для рішення цілої низки питань гідрометеорологу необхідні відомості про положення світил на небесній сфері, тобто знання з розділу астрономії, який називається сферична астрономія. У цьому розділі використовуються закони та правила сферичної тригонометрії. Давньогрецькі вчені одним з основних для себе вважали питання про місце Землі у Всесвіті, дослідження і з’ясування особливостей руху «блукаючих світил», тобто планет, а в цілому – з’ясування найголовніших елементів світобудови. Тому, коли йшлось про геометрію, то малась на увазі сферична або геометрія на сфері, яка вже в V ст. до н.е. розвинулась як допоміжна астрономічна дисципліна.
Потреба у вимірюванні кутових відстаней між світилами на небі і визначені систем небесних координат зіграла величезну роль у розвитку сферичної тригонометрії. Щоб усвідомити, якими значними були труднощі давніх учених, доцільно згадати, що поняття синуса сформулювали в часи Гіппарха (II ст.
до н.е.), тоді, як тангенса – в X ст.; що поняття десяткового дробу існує лише з 1585 р., а таблиці логарифмів з’явилися лише після 1614р.
Наука про співвідношення між дугами та кутами на поверхні сфери називається сферичною тригонометрією.

Сфера – поверхня, всі точки якої знаходяться на однаковій відстані від центральної точки, тобто центра сфери. Основні властивості сфери:
1. Площина, яка проходить через центр сфери, ділить її на дві рівні
півсфери (півкулі). Лінія перетину сфери цією площиною називається великим колом сфери. Радіус великого кола сфери дорівнює радіусу R сфери.
2. Площини, які перетинають сферу поза її центру, утворюють на поверхні сфери малі кола, радіус r яких менший за радіус сфери (рис. 2.1).
3. Діаметр сфери, перпендикулярний до площини заданого великого чи малого кола сфери, називається віссю сфери, а кінці цієї осі – полюсами великого або малого кола. Для великого кола вони однаково віддалені, а для малого кола сфери слід розрізняти поняття найближчий і
найвіддаленіший полюси.
4. При перетині будь-якого діаметра сфери перпендикулярними йому площинами на поверхні сфери утворюється одне велике коло, якщо його площина проходить через її центр, і низка малих кіл, площини яких паралельні великому. (см. Решение задач по высшей математике, Кузнецов Л.А., М. 1997)

Сфера та її елементи

Рисунок 2.1 – Сфера та її елементи.

5. Два великих кола сфери завжди перетинаються в двох діаметрально протилежних точках, бо площини цих кіл перетинаються по діаметру сфери.
6. Через дві діаметрально протилежні точки сфери можна провести безліч великих кіл (рис. 2.2).

Великі кола сфери

Рисунок 2.2 – Великі кола сфери.

7. Через дві точки на поверхні сфери, які не лежать на одному діаметрі, можна провести одне велике коло сфери через те, що третьою точкою положення її площини є центр сфери (інші кола будуть малими) (рис. 2.3).

Великі та малі кола сфери

Рисунок 2.3 – Великі та малі кола сфери.

8. Дуга великого кола є найкоротшою відстанню на поверхні сфери між кінцевими точками цієї дуги (рис. 2.4). Її називають геодезичною лінією. Іншими словами можна сказати, що відстані між точками на поверхні сфери вимірюються дугами великих кіл, які виражаються в градусній мірі ( або, як побачимо далі, в одиницях часу).

Сферичний кут

Рисунок 2.4 – Сферичний кут.

Введемо деякі поняття:
Сферичний радіус малого кола сфери – це найкоротша відстань на поверхні сфери від найближчого полюса А заданого малого кола до будь-якої точки цього кола (рис. 2.1). У наведеному рисунку дуга AC великого кола є сферичним радіусом малого кола DOE′ .
Сферичний кут. Сферичний кут на поверхні сфери утворюється двома дугами великих кіл, які виходять з однієї точки – вершини сферичного кута C або 1 C (рис. 2.4). Дуги великих кіл, які утворюють сферичний кут, називаються його сторонами. Сферичний кут вимірюється в градусах або
радіанах. Сферичний кут ACB можна виміряти плоским кутом між прямими k і l , дотичними до сторін сферичного кута в його вершині C . Сферичний кут ACB вимірюється і центральним кутом AOB, тобто
лінійним кутом двогранного кута CC′AB.

Нарешті, цей сферичний кут також можна виміряти дугою великого кола AB, полюсом якого є вершина сферичного кута C . Таким чином, задана дуга великого кола може бути замінена рівним їй по величині сферичним кутом при полюсі цього великого кола або навпаки.
Сферичний трикутник. Сферичним трикутником називається фігура на поверхні сфери, утворена дугами трьох великих кіл, які проходять через три точки сфери – вершини сферичного трикутника (рис. 2.5).

Принцип утворення сферичного трикутника

Рисунок 2.5 – Принцип утворення сферичного трикутника.

Дуги великих кіл, які з’єднують вершини сферичного трикутника АВС, називають його сторонами. При його вершинах А, В, С утворюються сферичні кути. Протилежні до кутів сторони сферичного трикутника позначаються відповідно a, b, c. Три великих кола утворюють на поверхні сфери вісім сферичних трикутників. Якщо виділити окремо сферичний трикутник зі сфери він буде мати
такий вигляд (рис. 2.6):

Сферичний трикутник та його елементи

Рисунок 2.6 – Сферичний трикутник та його елементи.

Зазначимо, що співвідношення між сторонами та кутами в планіметрії (або тригонометрії на площині) відрізняються від таких в сферичній тригонометрії. Так, якщо в плоскій тригонометрії сума кутів у трикутнику дорівнює 180°, то в сферичній вона завжди більша, ніж 180°, і може досягати 540°.
Співвідношення між сторонами та кутами сферичного трикутника, які називаються елементами сферичного трикутника (рис. 2.6), відображають основні формули сферичної тригонометрії: формула синусів, формула косинусів, формули п’яти і чотирьох елементів. Для виведення цих формул, зазвичай, розглядають сферичний трикутник, у якого всі сторони та кути менші, ніж 180°, такі трикутники називають трикутниками Ейлера. Для трикутника Ейлера (з кутами A, B, C та сторонами a, b, c ) мають місце такі твердження:
1. Сума двох сторін більша за третю, різниця двох сторін менша за третю:
a + b > c , ιa − bι < c ;

2. Сума двох кутів менша, ніж третій кут, збільшений на π:
A + В< C +π ;

3. Найбільша сторона лежить проти найбільшого кута:
a < b, якщо A < B ; a = b, якщо A = B;
4. Сума кутів знаходиться в межах від π до 3π , сума сторін – від 0 до 2 π:
π < A + В+ C< 3π , 0 <a+b+c<2π .
Таким чином, сума кутів сферичного трикутника завжди більша за 180°.

Формула синусів. Ця формула виражає залежність між сторонами сферичного трикутника і протилежними до них кутами:
sinc/sinC= sinb/sinB=sina/sinA= n,                          (2.1)
Формулюється вона так: в сферичному трикутнику відношення синуса сторони до синуса протилежного до неї кута є величина стала або синуси сторін сферичного трикутника пропорційні синусам протилежних до них кутів.
Формула синусів можуть бути надані у такому вигляді:

cosa = cosb ⋅ cosc + sinb ⋅ sin c ⋅ cos A,                      (2.4)
cosb = cosa ⋅ cosc + sin a ⋅ sin c ⋅ cosB,                      (2.5)
cosc = cosa ⋅ cosb + sin a ⋅ sinb ⋅ cosC .                       (2.6)

Формула п’яти елементів. Ця формула пов′язує три сторони і два кути сферичного трикутника. Вона формулюється так: добуток синуса сторони на косинус прилеглого кута дорівнює добутку косинуса
протилежної цьому куту сторони на синус третьої сторони мінус добуток синуса протилежної цьому куту сторони на косинус третьої сторони і на косинус кута між ними.
Для сторони а і прилеглих до неї кутів В і С формулу п’яти елементів у двох можливих варіантах наведено нижче:
sin a ⋅ cosB = cosb ⋅ sin c − sinb ⋅ cosc ⋅ cos A,             (2.7)
sin a ⋅ cosC = cosc ⋅ sinb − sin c ⋅ cosb ⋅ cos A.              (2.8)
За аналогією можна скласти такі формули для сторін в і с та прилеглих до кожної з них кутів. Таким чином утворюється 6 формул. Аналогічним чином можна сформувати другу групу цих формул, що відображує зв’язок між трьома кутами і двома сторонами. Наприклад, формули (2.9 і 2.10), які складені для кута А і прилеглих до нього сторін в, і с пов′язують між собою три кута і дві сторони:
sin A⋅ cosb = cosB ⋅ sinC + sin B ⋅ cosC ⋅ cosa ,                     (2.9)
sin A⋅ cos с = cosС ⋅sin В + sinС ⋅ cos В⋅ cos a .                    (2.10)
Для різних кутів і прилеглих до них сторін також можна одержати 6 формул.

Запитання для самоконтролю

1. Як утворюються великі і малі кола сфери?
2. Скільки великих кіл сфери можна провести через дві діаметрально
протилежні точки?
3. Скільки великих кіл сфери можна провести через дві точки, які не
лежать на одному діаметрі?
4. Що називають віссю великого і малого кола сфери?
5. Як вимірюються відстані між точками на поверхні сфери?
6. Що таке сферичний кут?
7. Що таке сферичний трикутник?
8. Назвіть елементи сферичного трикутника.
9. Що визначає сферичний радіус?
10. Які формули сферичної тригонометрії відображають зв'язок між
елементами сферичного трикутника?



Опубліковано: Admin January 05 2014 · Категорія: 8) Конспект лекцій з астрономії. · 0 коментарів · 3165 переглядів · Друк
Коментарі
Коментарі відсутні
Додати коментар
Щоб отримати можливість додавання коментарів, будь ласка, спочатку авторизуйтесь на сайті через власний обліковий запис.
Перекладач
Ми в соціальних мережах:
Лічильники:
Яндекс.Метрика Рейтинг@Mail.ru